第 6 章 异方差的诊断和矫正

6.1 实验目的及要求

• 目的：掌握异方差问题的检验与处理方法。
• 要求：在老师指导下完成计量经济模型的异方差检验，并对存在异方差的模型进行修正，最终得到正确的分析结果。

6.2 实验原理

• 对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，则认为模型出现了异方差问题。
• 异方差的实质表现为随机误差项的方差随着解释变量（引起异方差的解释变量）观测值的变化而变化。
• 对于出现异方差的原模型主要采用校正其异方差，再对校正后的模型采用普通最小二乘法估计。

6.2.1 什么是模型异方差问题？

对于模型 \[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i && \text{(PRM)} \tag{6.1} \\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{ki}+e_i && \text{(SRM)} \tag{6.2} \\ \mathbf{y} &= \mathbf{X}\mathbf{\beta}+\mathbf{u} && \text{(PRM-matrix)} \tag{4.19} \\ \mathbf{y} &= \mathbf{X}\mathbf{\hat{\beta}}+\mathbf{e} && \text{(SRM-matrix)} \tag{4.20}\\ \end{align}\]

在正态经典线性回归模型假设（N-CLRM）下，随机干扰项\(u_i\)假设为同方差：

\[\begin{align} var-cov(\mathbf{u})&=E(\mathbf{uu'})\\ &= \begin{bmatrix} E(u_1^2) & E(u_1u_2) &\cdots &E(u_1u_n)\\ E(u_2u_1) & E(u_2^2) &\cdots &E(u_2u_n)\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ E(u_nu_1) &E(u_nu_2) &\cdots &E(u_n^2)\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12}^2 &\cdots &\sigma_{1n}^2\\ \sigma_{21}^2 & \sigma_2^2 &\cdots &\sigma_{2n}^2\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ \sigma_{n1}^2 & \sigma_{n2}^2 &\cdots &\sigma_n^2\\ \end{bmatrix} \\ &=\sigma^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 &\cdots &0\\ 0 & 1 &\cdots &0\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ 0 & 0 &\cdots &1\\ \end{bmatrix}\\ &=\sigma^2\mathbf{I} \end{align}\]

定义 6.1 (异方差) 如果回归模型不再满足N-CLRM假设中关于随机干扰项是同方差的条件，那么我们称模型存在异方差（heteroskedasticity）问题。正式地，对于回归模型(6.1)，如果随机干扰项\(u_i\)表现为：

\[\begin{align} var-cov(\mathbf{u})&=E(\mathbf{uu'})\\ &= \begin{bmatrix} E(u_1^2) & E(u_1u_2) &\cdots &E(u_1u_n)\\ E(u_2u_1) & E(u_2^2) &\cdots &E(u_2u_n)\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ E(u_nu_1) &E(u_nu_2) &\cdots &E(u_n^2)\\ \end{bmatrix} && \leftarrow (E{(u_i)}\equiv 0)\\ &= \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12}^2 &\cdots &\sigma_{1n}^2\\ \sigma_{21}^2 & \sigma_2^2 &\cdots &\sigma_{2n}^2\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ \sigma_{n1}^2 & \sigma_{n2}^2 &\cdots &\sigma_n^2\\ \end{bmatrix} && \leftarrow (var{(u_i)} \equiv \sigma_i^2;cov(u_i,u_j)\equiv\sigma_{ij}^2,i\neq j)\\ &= \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & 0 &\cdots &0\\ 0 & \sigma_2^2 &\cdots &0\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ 0 & 0 &\cdots &\sigma_n^2\\ \end{bmatrix} && \leftarrow (cov{(u_i,u_j)}\equiv 0,i \neq j)\\ \end{align}\]

则称回归模型(6.1)存在异方差问题。

异方差问题的来源很多，包括但不限于：

• 回归模型的设定偏误，比如忽略了重要的解释变量
• 数据采集技术的不同和发展
• 样本数据异常值（outliers）的出现
• 截面数据往往更容易出现异方差问题
• 一个或多个回归元的分布呈偏态(skewness)

值得注意的是：

• 为了分析的简单和方便，上述定义中随机干扰项\(u_i\)表现为异方差（\(var(u_i)=\sigma^2_i\)），但仍旧保证均值为0（\(E(u_i)=0\)），协方差为0（\(cov(u_i,u_j)=0,i \neq j\)）
• 同方差是一种理想化情形（\(var(u_i)=\sigma^2\)），但异方差（\(var(u_i)=\sigma^2_i\)）则是更为普遍的存在，而且异方差的具体表现形式有多种多样！
• 只要出现了任何一种异方差（\(var(u_i)=\sigma^2_i\)）形式，都认为模型(6.1)存在异方差问题！
• 其他假定不变，同方差性假定不成立时，OLS估计量通常不再是最优线性无偏估计量（BLUE）。此时，OLS估计量仍然是线性的和无偏的（因这两条性质都与方差无关），但是，不再是“最优的”或“有效的”，也即还是线性无偏估计量（LUE）。

6.2.2 如何诊断模型异方差问题？

异方差诊断是下一步模型矫正的基础，诊断工作的要点有：

• 根据异方差定义6.1，异方差问题刻画的是总体回归模型(6.1)中随机干扰项\(u_i\)的方差为异方差。然而总体回归模型(6.1)中随机干扰项\(u_i\)的行为不能直接观测得到，我们只好间接观测对应样本回归模型(6.2)中残差\(e_i\)，通过观察残差\(e_i\)的表现来间接认识随机干扰项\(u_i\)的特征。因此，下面的异方差问题诊断方法，始终围绕样本回归模型中残差\(e_i\)的表现特征来展开。

• 异方差问题在理论上可以有很多种形式⁹，因此在诊断之前我们只能先猜测模型可能有哪一种（或哪几种）异方差形式。而且不同的异方差诊断工具只能识别特定的异方差形式，所以实践操作中可能需要尝试多种诊断工具。一旦诊断出有任何一种（或多种）异方差模式，我们都认为模型6.1存在异方差问题。

• 诊断工作不仅仅只是诊断得到是否存在异方差问题的结论，而且往往还需要诊断出属于哪一种异方差形式，因为后面的异方差问题的模型矫正中（如WLS矫正法）还需要利用这一有价值的信息！

6.2.2.1 图形识别检验法

通过观察残差\(e_i\)的表现来间接认识随机干扰项\(u_i\)的特征，最直观的是观察残差\(e_i\)的图形模式：

• 残差描点图（dot plot）
  • 残差\(e_i\)的描点图（dot plot）
  • 标准化残差\(e_i^{\ast}=\frac{e_i}{S_{e_i}}\)的描点图（dot plot）
  • \(e_i^2\)的描点图（dot plot）
• 残差散点图（scatter plot）
  • \(e_i^2\)与\(Y_i\)的散点图（scatter plot）
  • \(e_i^2\)与\(Y_i^2\)的散点图（scatter plot）
  • \(e_i^2\)分别与\((X_{2i},X_{3i},\cdots,X_{ki})\)的散点图（scatter plot）
  • \(e_i^2\)分别与\((X_{2i}^2,X_{3i}^2,\cdots,X_{ki}^2)\)的散点图（scatter plot）

图形识别检验法的判断准则是，一旦发现存在我们所知的系统模式，则认为模型很可能存在异方差问题。例如：

• 残差\(e_i^2\)的描点图（dot plot），如果表现为线性增加的图形模式，则表明随机干扰项的方差单调增加。
• \(e_i^2\)与\(Y_i\)的散点图（scatter plot），如果表现为近似直线模式，则表明随机干扰项的方差单调增加。
• \(e_i^2\)与\(X_{3i}^2\)的散点图（scatter plot），如果表现为近似下开口抛物线模式，则表明随机干扰项的方差先增加，后减小
• \(\cdots\)

6.2.2.2 正式检验方法：Park检验法

Park检验方法针对的异方差情形是：

\[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i && \text{(PRM)} \tag{6.3}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{ki}+e_i && \text{(SRM)}\tag{6.4} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} var(u_i)&\equiv \sigma^2_i=e^{(\mathbf{Z_t'\alpha})}\\ \end{split} && \text{(type-Park)} \tag{6.5}\\ \end{align}\]

其中，\(e\)表示自然底数，也即e=2.71828182845905，\(\mathbf{\alpha}\)表示参数，\(\mathbf{Z_t}\)表示由独立变量组成的向量，一般由主回归方程的回归元组成，但又不是必须由它们组成。

Park检验方法的基本步骤是：

• 先对样本回归模型(6.4)进行回归分析，得到残差序列\(e_i\)和\(e_i^2\)

• 再对辅助回归模型(6.6)进行回归分析

\[\begin{align} ln(e^2_i)&=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2ln(X_{2i})+\cdots+\hat{\alpha}_kln(X_{ki})+v_i && \text{(Auxiliary-Park)} \tag{6.6} \end{align}\]

• 根据辅助回归方程结果得到异方差诊断结论
  • 如果诊断辅助方程(6.25)的F检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.3)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.25)的F检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.3)是异方差。

6.2.2.3 正式检验方法：Glejser检验法

Glejser检验方法针对的异方差情形是：

\[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i && \text{(PRM)} \tag{6.7}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{ki}+e_i && \text{(SRM)}\tag{6.8} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} var(u_i)&\equiv \sigma^2_i \\ \sigma^2_i&={(\sigma^2+\mathbf{Z_t'\alpha})}^{\gamma}\\ \gamma &=1,2 \end{split} && \text{(type-Glejser)} \tag{6.9}\\ \end{align}\]

其中，\(\mathbf{\alpha}\)表示参数，\(\mathbf{Z_t}\)表示由独立变量组成的向量，一般由主回归方程的回归元组成，但又不是必须由它们组成。

Glejser检验方法的基本步骤是：

• 先对样本回归模型(6.8)进行回归分析，得到残差序列\(e_i\)和\(|e_i|\)

• 再对如下多种形式的辅助回归模型(6.6)进行回归分析¹⁰

\[\begin{align} |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_mX_{mi}+v_i &&\text{Glejser1} \tag{6.10}\\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\sqrt{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_m\sqrt{X_{mi}}+v_i &&\text{Glejser2} \tag{6.11}\\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\frac{1}{\sqrt{X_{2i}}}+\cdots+\hat{\alpha}_m\frac{1}{\sqrt{X_{mi}}}+v_i &&\text{Glejser4} \tag{6.12}\\ |e_i| & =\sqrt{\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_m{X_{mi}}}+v_i &&\text{Glejser5} \tag{6.13}\\ |e_i| & =\sqrt{\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2{X_{2i}^2}+\cdots+\hat{\alpha}_m{X_{mi}^2}}+v_i &&\text{Glejser6} \tag{6.14}\\ \end{align}\]

• 根据辅助回归方程结果得到异方差诊断结论
  • 如果诊断辅助方程的F检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.7)是同方差
  • 如果诊断辅助方程的F检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.7)是异方差。

6.2.2.4 正式检验方法：BPG检验法

BPG检验方法针对的异方差情形是：

\[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i && \text{(PRM)} \tag{6.15}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{ki}+e_i && \text{(SRM)}\tag{6.16} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} var(u_i)&\equiv \sigma^2_i\\ &=\sigma^2\cdot f(\mathbf{Z_t'\alpha})\\ &=\sigma^2\cdot{f\left(\alpha_1+\alpha_2X_{2i} +\cdots+\alpha_mX_{mi}\right)} \end{split} && \text{(type-BPG)}\tag{6.17}\\ \end{align}\]

其中，\(f(\cdot)\)表示函数，\(\mathbf{\alpha}\)表示参数，\(\mathbf{Z_t}\)表示由独立变量组成的向量，一般由主回归方程的回归元组成，但又不是必须由它们组成，\(m \in (1,k]\)。

BPG检验方法的基本步骤是：

• 先对样本回归模型(6.16)进行回归分析，得到残差序列\(e_i\)和\(e_i^2\)

• 再对辅助回归模型(6.18)进行回归分析

\[\begin{align} e^2_i&=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_mX_{mi}+v_i && \text{(Auxiliary-BPG)} \tag{6.18} \end{align}\]

• 计算并得到ESS(解释的平方和)，进一步定义有

\[\begin{align} {\chi^2}^{\ast}=\frac{ESS^{\ast}}{2} \sim \chi^2(m-1) \end{align}\]

• 根据辅助回归方程结果得到异方差诊断结论
  • 如果诊断辅助方程(6.18)的\(\chi^2\)检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.15)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.18)的\(\chi^2\)检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.15)是异方差。

6.2.2.5 正式检验方法：White检验法

White检验方法针对的异方差情形是：

\[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i && \text{(PRM)} \tag{6.19}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{ki}+e_i && \text{(SRM)}\tag{6.20} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} var(u_i)&\equiv \sigma^2_i\\ &=\sigma^2\cdot f(\mathbf{Z_t'\alpha})\\ &=\sigma^2\cdot{f\left(X_{pi},X^2_{pi},X_{pi}X_{qi}\right)} \\ &p,q \in (1,k];p \neq q \end{split} && \text{(type-White)}\tag{6.21}\\ \end{align}\]

其中，\(f(\cdot)\)表示函数，\(\mathbf{\alpha}\)表示参数，\(\mathbf{Z_t}\)表示由独立变量组成的向量，一般由主回归方程的回归元、平方项或交叉项组成，但又不是必须由它们组成，\(m \in (1,k]\)。

White检验方法的基本步骤是：

• 先对样本回归模型(6.20)进行回归分析，得到残差序列\(e_i\)和\(e_i^2\)

• 再对如下两种辅助回归模型进行回归分析，其中辅助回归模型(6.22)只含有回归元及其平方项，辅助回归模型(6.23)则还包含了回归元的交叉项。

\[\begin{align} \begin{split} e^2_i&=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_mX_{mi}+\hat{\lambda}_2X^2_{2i}+\cdots+\hat{\lambda}_mX^2_{mi}+v_i \end{split} && \text{(square-White)} \tag{6.22} \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} e^2_i&=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_mX_{mi}+\hat{\lambda}_2X^2_{2i}+\cdots+\hat{\lambda}_mX^2_{mi}\\ &+\hat{\delta}_2X_{2i}X_{3i}+\cdots+\hat{\delta}_pX_{pi}X_{qi}+v_i \\ &p,q \in (1,k];p \neq q \end{split} && \text{(cross-White)} \tag{6.23} \end{align}\]

• 计算并得到辅助回归方程的判定系数\(R^2\)(解释的平方和)，进一步定义有

\[\begin{align} n{R^2} \sim \chi^2_{df} \end{align}\]

• 对于辅助回归方程(6.22)，诊断结论为：
  • 辅助回归方程(6.22)不包含交叉项，则纯粹用于诊断主模型是否含有异方差问题
  • 如果辅助回归方程(6.22)的\(\chi^2\)检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.19)是同方差
  • 如果辅助回归方程(6.22)的\(\chi^2\)检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.19)是异方差。

• 对于辅助回归方程(6.23)，诊断结论为：
  • 辅助回归方程(6.23)包含有交叉项，则用于诊断主模型是否同时含有异方差问题或模型设定偏误
  • 如果辅助回归方程(6.22)的\(\chi^2\)检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.19)不存在异方差问题或模型设定偏误
  • 如果辅助回归方程(6.22)的\(\chi^2\)检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.19)存在异方差问题或模型设定偏误。

6.2.3 如何矫正模型异方差问题？

如前所述，如果诊断出任何一种形式的异方差问题，我们都认为模型存在异方差问题。异方差问题较严重的话，则需要对模型进行校正，以尽量缓解异方差问题的影响。矫正模型异方差问题的思路主要有两条：

• 使用稳健标准误（robust standard errors）来矫正异方差。这里我们将主要采用White (1980)提出的异方差一致性矫正法 （heteroskedasticity consistent covariance）进行模型处理。¹¹

• 使用加权最小二乘法（WLS）矫正异方差问题。针对异方差问题的不同形式，可以借助权重处理的办法，尽可能地将异方差问题转换成同方差。加权最小二乘法（WLS）的操作，本质上是两阶段最小二乘方法（two-stage least squares）。先对原模型进行权重处理，时期转换为同方差模型，然后再用最小二乘法进行回归估计。

使用加权最小二乘法（WLS）矫正异方差问题，具体操作选择有：

• 异方差情形：如果方差\(\sigma^2_i\)已知且等于样本方差\(S^2\)
  • 广义最小二乘法（WLS）处理：对主模型两边同时除以\(S_i\)
• 异方差情形：如果方差\(\sigma^2_i\)正比于\(X^2_i\)
  • 加权最小二乘法（WLS）处理：对主模型两边同时除以\(X_i\)
• 异方差情形：如果方差\(\sigma^2_i\)正比于\(X_i\)
  • 加权最小二乘法（WLS）处理：对主模型两边同时除以\(\sqrt{X_i}\)
• 异方差情形：如果方差\(\sigma^2_i\)正比于\(\hat{Y_i}^2\)
  • 加权最小二乘法（WLS）处理：对主模型两边同时除以\(\hat{Y_i}\)
• 异方差情形：如果方差\(\sigma^2_i\)未知
  • 加权最小二乘法（WLS）处理：对主模型两边同时取对数\(ln()\)

6.3 实验内容

1. 采用最小二乘法建立主回归模型

2. 侦查模型是否存在异方差问题

   1. 非正式检验方法（图形检验法）：
      • 残差趋势图（dot plot）
      • 残差散点图（scatter plot）
   2. 正式检验方法
      • Park检验法
      • Glejser检验法
      • BPG检验法
      • White检验法

3. 在发现存在异方差的基础上，对原模型进行异方差问题的处理：

   1. 使用加权最小二乘法校正异方差
      
   2. 使用White校正法解决异方差

6.4 实验准备

6.4.1 实验软件

本次实验需要提前准备好如下软件：

• 统计分析软件Eviews 9.0版本及以上
• 公式编辑软件Mathtype 6.0版本及以上
• 写作编辑软件Office Word/Excel 2010版本及以上
• 浏览器软件chrome 66.0版本及以上或 360极速浏览器9.5版本及以上

6.4.2 实验材料

汽车油耗：表6.1给出给出了81辆汽车在Y单位油耗的行驶里程数（英里/加仑），X2最高时速（英里/小时），X3发动机马力，X4汽车空间（立方英尺），X5车身重量（百磅）等方面的数据。

表 6.1: 汽车单位油耗里程数据(n=81)

obs	Y	X2	X3	X4	X5
1	65.4	96	49	89	17.5
2	56.0	97	55	92	20.0
3	55.9	97	55	92	20.0
4	49.0	105	70	92	20.0
5	46.5	96	53	92	20.0
77	18.1	165	322	50	45.0
78	17.2	140	238	115	45.0
79	17.0	147	263	50	45.0
80	16.7	157	295	119	45.0
81	13.2	130	236	107	55.0

变量说明见表6.2：

表 6.2: 变量定义及说明

variable	label
obs	汽车品牌序号
Y	单位油耗的行驶里程数（英里/加仑）
X2	最高时速（英里/小时）
X3	发动机马力
X4	汽车空间（立方英尺）
X5	车身重量（百磅）

 

请考虑如下样本回归模型：

\[\begin{equation} Y_i=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\beta_4X_{4i}+\beta_5X_{5i}+e_{i} \tag{6.24} \end{equation}\]

6.4.3 实验规则

本实验将要求保留Eviews操作过程的相关结果，因此对Eviews对象命名规则设计如下：

• 方程对象（Equation）的命名规则：
  • 主回归方程对象保存命名为eq_m0
  • 异方差问题WLS矫正后的回归方程，根据具体矫正类型，酌情保存并命名为：
    • eq_adj_type1
    • eq_adj_type2
    • \(\cdots\)
  • 异方差问题White一致标准误矫正后的回归方程，保存并命名为：eq_adj_white
• 序列对象（Series）的命名规则：
  • （主回归方程的）残差序列，保存并命名为ei
  • （主回归方程的）残差平方序列，保存并命名为ei_sqr
  • 各变量的平方序列，分别保存并命名为：
    • Y_sqr
    • X2_sqr
    • X3_sqr
    • X4_sqr
    • X5_sqr
• 图形对象（Graph）的命名规则：
  • 残差及残差平方的描点图（dot plot），绘制成一张图，保存并命名为并命名为：dot_resid
  • 全部变量对残差的散点图（scatter），绘制成一张图，保存并命名为并命名为：scatter_ei
• 表格对象（Table）的命名规则：
  • 异方差的Park检验结果，另存为并命名为：tab_park
  • 异方差的Glejser检验结果（前三类情形），分别另存为并命名为：
    • G1
    • G2
    • G3
  • 异方差的BPG检验结果，另存为并命名为：tab_bpg
  • 异方差的White检验结果，另存为并命名为：tab_white

6.5 主要实验步骤

6.5.1 导入数据并进行预处理

• 目标：
• 思路：
• 新建Eviews工作文件（见图6.1）
  • 提示：Excel数据，每个同学的Y数据都不同，找到自己学号对应下的Y
  • Eviews菜单操作：
    1. 依次操作：File\(\Rightarrow\)New\(\Rightarrow\)Workfile
    2. 进行workfile create引导设置：
       • workfile structure type: unstructured/undatede
       • data range：81
       • workfile names(optional):
         • WF: car（建议命名）
         • Page: mileage（建议命名）
• Eviews导入数据
  • 提示：Excel数据，每个同学的Y数据都不同，找到自己学号对应下的Y数据（X数据所有同学都一样）
    
  • 菜单操作（Excel和Eviews）：
    1. Excel找到数据。Excel表格中仅保留自己需要的数据（obs, Y, X2, X3, X4, X5）
    2. Eviews导入数据。File\(\Rightarrow\)Import\(\Rightarrow\)Import From File：d:/econometrics/data/Lab6-car.xlsx

图 6.1: 导入数据的Eviews视窗

6.5.2 采用最小二乘法建立主回归模型

• 目标：
• 思路：
• 提示：主回归模型为

\[Y_t=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+\hat{\beta}_4X_{4i}+\hat{\beta}_5X_{5i}+e_{i}\]

• Eviews菜单操作（见图6.2）：

  1. 依次选择\(\Rightarrow\)Quick\(\Rightarrow\)Estimation Equation
     

  2. 引导设置Equation Estimation\(\Rightarrow\)specification

     1. Equation specification：输入命令 Y c X2 X3 X4 X5
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: 默认设置
     3. 点击OK
        

  3. 模型命名：建议为eq_m0

     主回归分析结果见图6.3：

图 6.2: 主回归模型Eviews操作

图 6.3: 主回归模型Eviews报告

6.5.3 侦查模型是否存在异方差

6.5.3.1 初步观察法（观察主回归方程）

• 目标：观察主回归方程分析报告，分析回归报告结果，得出初步结论
• 思路：观察\(t^{\ast}\)检验，判定系数\(R^2\)，\(F^{\ast}\)检验的关系
• 提示：
  • 模型使用的数据是否是截面数据
  • 主回归分析报告的\(R^2\)值
  • 模型整体\(F^{\ast}\)检验结果
  • 斜率系数的\(t^\ast\)检验结果
• 分析结论： 根据主回归报告（见图6.3），表明模型可能存在严重的异方差问题。

6.5.3.2 非正式检验法（图示法）

• 目标：观察\(e_i\)或\(e^2_i\)的图形模式
• 思路：判定\(e_i\)或\(e^2_i\)与\(i\)、\(X_i\)、\(X^2_i\)、\(Y_i\)、\(Y^2_i\)等的图形关系
• 提示：
  • 描点图（dot plot）是分析一个变量的图形模式。例如\(e_i\)或\(e^2_i\)（做纵轴）相对于\(i\)（做横轴）的图形关系
  • 散点图（scatter plot）是分析两个变量之间的图形模式。例如\(e_i\)或\(e^2_i\)（做纵轴），相对于\(X_i\)或\(X^2_i\)或\(Y_i\)或\(Y^2_i\)的图形关系。
• Eviews菜单操作：
  1. 分别生成新序列\(e_i\)、\(e^2_i\)、\(Y^2_i\)和\(X^2_i\)（见图6.4）
     1. 生成残差\(e^2_i\)和\(e^2_i\)序列（建议分别命名为ei和ei_sqr）
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series ei=resid
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series ei_sqr=resid^2
        • 运行命令：命令行中按Enter键
          
     2. 生成残差\(Y^2_i\)序列（建议命名为Y_sqr）
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series Y_sqr=Y^2
        • 运行命令：命令行中按Enter键
          
     3. 生成残差\(X^2_i\)序列（建议分别命名为X2_sqr,X3_sqr,X4_sqr,X5_sqr）
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series X2_sqr=X2^2
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series X3_sqr=X3^2
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series X4_sqr=X4^2
        • 命令视窗（Command）输入命令 ：series X5_sqr=X5^2
        • 运行命令：上述命令行中依次按Enter键
     4. 查看结果：
        • 双击ei
        • 双击ei_sqr
        • 双击Y_sqr
        • 双击X2_sqr
        • 双击X3_sqr
        • 双击X4_sqr
        • 双击X5_sqr
  2. 绘制\(e_i\)和\(e^2_i\)序列的描点图（dot plot）（见图6.5）
     1. 选择序列对象：键盘Ctrl键+依次单击选择序列ei和ei_sqr
     2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Graph
        • 选择绘图类型(Graph type)：Dot plot
        • 选择绘图细节(Detail)：\(\Rightarrow\) Multiple series \(\Rightarrow\) 下拉选择 Multiple graphs
     3. 点击完成：OK
     4. 命名并保存绘图（graph）对象：建议命名为dot_resid
     5. 查看结果：双击dot_resid（见图6.6）
  3. 绘制\(e_i\)序列对\(Y_i\); \(X_{1 i};X_{2 i};X_{3 i};X_{4 i}\)的散点图（scatter plot）（见图6.7）
     1. 选择序列对象：键盘Ctrl键+依次单击选择序列ei；Y；X2；X3；X4；X5
     2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Graph
        • 选择绘图类型(Graph type)：Scatter
        • 选择绘图细节(Detail)：\(\Rightarrow\) Multiple series \(\Rightarrow\) 下拉选择 Multiple graphs - First vs. all
     3. 点击完成：OK
     4. 命名并保存绘图（graph）对象：建议命名为scatter_ei
     5. 查看结果：双击scatter_ei（见图6.7）
  4. 绘制\(e^2_i\)序列对\(Y_i\); \(X_{1 i};X_{2 i};X_{3 i};X_{4 i}\)的散点图（scatter plot）（见图6.8）
     1. 选择序列对象：键盘Ctrl键+依次单击选择序列ei_sqr；Y；X2；X3；X4；X5
     2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Graph
        • 选择绘图类型(Graph type)：Scatter
        • 选择绘图细节(Detail)：\(\Rightarrow\) Multiple series \(\Rightarrow\) 下拉选择 Multiple graphs - First vs. all
     3. 点击完成：OK
     4. 命名并保存绘图（graph）对象：建议命名为scatter_ei_sqr
     5. 查看结果：双击scatter_ei_sqr（见图6.8）

图 6.4: 生成相关变量

图 6.5: 残差及残差平方的描点图

图 6.6: 残差及残差平方的描点图报告

图 6.7: 残差与模型变量的散点图

图 6.8: 残差平方与模型变量的散点图

6.5.3.3 正式检验法

• 目标：利用Eviews的异方差诊断菜单，分别对主回归模型(6.24)进行 进行异方差诊断。

• 思路：诊断方法包括Park检验、Glejser检验、BPG检验和White检验等。根据辅助诊断方程的理论假设，分析Eviews诊断报告，与相关参考标准进行比较，得到相关结论

• 定义：

  • 主回归模型(Main Model)是指Y变量对全部X变量的线性回归（如主模型(6.24)）
  • 辅助诊断模型(Auxiliary Model)是指利用主回归模型的残差序列\(e_i\)对X变量进行特定的线性回归（具体的辅助诊断模型有多个）

• 提示：

  • 操作提示：用Eviews的异方差诊断菜单 \(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test
  • 诊断提示：若发现假设检验结果不显著（视具体检验方法而不同）则表明主模型(6.24)为同方差；否则就表明主模型(6.24)为异方差
  • 理论提示：你也可以自己根据实际情况设定个性化的辅助诊断方程

6.5.3.3.1 Park检验法

• 诊断辅助方程：

\[\begin{equation} ln(e^2_i)=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2ln(X_{2i})+\cdots+\hat{\alpha}_kln(X_{ki})+v_i \tag{6.25} \end{equation}\]

• 诊断标准：

  • 如果诊断辅助方程(6.25)的F检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.24)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.25)的F检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.24)是异方差。

• Eviews说明：Eviews没有Park异方差检验的诊断菜单，但可以通过选择Harvey异方差菜单，并修改相关变量设置来得到Park检验报告。

• Eviews操作（菜单操作实现，具体见图6.9）：

  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择Harvey
     • 设置诊断方程（Regressors）：输入c log(X2) log(X3) log(X4) log(X5)
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（talbe）对象：点击name(建议为tab_park)
     • 查看结果：双击tab_park

具体Eviews报告见6.10：

图 6.9: Park异方差检验操作

图 6.10: Park异方差检验报告

6.5.3.3.2 Glejser检验法

• 诊断辅助方程：

\[\begin{align} |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_kX_{ki}+v_i &&\text{G1} \tag{6.10}\\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\sqrt{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_k\sqrt{X_{ki}}+v_i &&\text{G2} \tag{6.11}\\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\frac{1}{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_k\frac{1}{X_{ki}}+v_i &&\text{G3} \tag{6.26} \end{align}\]

• 诊断标准：
  • 如果诊断辅助方程(6.10)的F检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.24)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.11)的F检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.24)是异方差。
• 注意事项：
  • Glejser辅助诊断方程(6.11)如果\(X_i\)的取值有0值，则不能做\(\frac{1}{X_i}\)的操作，否则计算机会报错（如Overflow，见图6.11）。
  • Glejser辅助诊断方程(6.26)如果\(X_i\)的取值有负数值或0值，则不能做\(log(X_i)\)的操作，否则计算机会报错（如Log of non positive number，见图6.12）。

图 6.11: Glejser异方差检验操作报错（倒数情形）

图 6.12: Glejser异方差检验操作报错（对数情形）

• Eviews操作1（Glejser辅助方程(6.10)，具体见图6.13）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择Glejser
     • 设置诊断方程（Regressors）：输入c X2 c X3 c X4 c X5
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_G1)
     • 查看结果：双击tab_G1

具体Eviews报告见6.14：

图 6.13: Glejser异方差检验操作1

图 6.14: Glejser异方差检验报告1

• Eviews操作2（Glejser辅助方程(6.11)，具体见图6.15）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择Glejser
     • 设置诊断方程（Regressors）：输入c X2^0.5 X3^0.5 X4^0.5 X5^0.5
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_G2)
     • 查看结果：双击tab_G2

具体Eviews报告见6.16：

图 6.15: Glejser异方差检验操作2

图 6.16: Glejser异方差检验报告2

• Eviews操作3（Glejser辅助方程(6.26)，具体见图6.17）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择Glejser
     • 设置诊断方程（Regressors）：输入c 1/ X2 1/ X3 1/ X4 1/ X5
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_G3)
     • 查看结果：双击tab_G3

具体Eviews报告见6.18：

图 6.17: Glejser异方差检验操作3

图 6.18: Glejser异方差检验报告3

6.5.3.3.3 BPG检验法

• 诊断辅助方程：

\[\begin{equation} e^2_i=\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_kX_{ki}+v_i \tag{6.18} \end{equation}\]

• 诊断标准：
  • 如果诊断辅助方程(6.18)的\(\chi^2\)检验（scaled explained SS）不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.24)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.18)的\(\chi^2\)检验（scaled explained SS）显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.24)是异方差。
• Eviews操作（菜单操作实现，具体见图6.19）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择Breusch-Pagan-Godfrey
     • 设置诊断方程（Regressors）：输入c X2 X3 X4 X5
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_bpg)
     • 查看结果：双击tab_bpg

具体Eviews报告见6.20：

图 6.19: BPG异方差检验操作

图 6.20: BPG异方差检验报告

6.5.3.3.4 White检验法

• 诊断辅助方程：

\[\begin{align} Y_t & =\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2i}+\hat{\beta}_3X_{3i}+e_{i} \tag{6.27} \\ e^2_i & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\hat{\alpha}_3X_{3i}+\hat{\alpha}_4X^2_{2i}+\hat{\alpha}_5X^2_{3i}+\hat{\alpha}_6X_{2i}X_{3i}+v_i \tag{6.28} \end{align}\]

• 诊断标准：
  • 如果诊断辅助方程(6.28)的\(\chi^2\)检验（scaled explained SS）不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(6.27)是同方差
  • 如果诊断辅助方程(6.28)的\(\chi^2\)检验（scaled explained SS）显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(6.27)是异方差。
• Eviews操作（菜单操作实现，具体见图6.21）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Heteroskedasticity Test \(\Rightarrow\) Specification
     • 设置诊断方法（Test type）: 点击选择White
     • 设置诊断方程（下面两类方程自行选择其一）：
       • 交叉项方程：勾选 Include White cross term
       • 非交叉项方程：不勾选 Include White cross term
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_white)
     • 查看结果：双击tab_white

具体Eviews报告见6.22：

图 6.21: White异方差检验报告操作

图 6.22: White异方差检验报告

6.5.4 存在异方差问题的模型矫正

6.5.4.1 使用加权最小二乘法（WLS）矫正异方差问题

6.5.4.1.1 WLS矫正情形1： 方差\(\sigma^2_i\)已知且等于样本方差\(S^2\)

• 理论提示：

如果主模型(6.24)存在异方差问题，且假设方差正比于样本方差\(S^2_i\)，则有：

\[\begin{equation} var(u_i)=E(u^2_i)=\sigma^2_i=\sigma^2S^2_i \tag{6.29} \end{equation}\]

对主模型(6.24)两边同时除以\(S_i\)，得到：

\[\begin{align} \frac{Y_i}{S_i} &=\frac{\hat{\beta}_1}{S_i}+\hat{\beta}_2\frac{X_{2i}}{S_i}+\hat{\beta}_3\frac{X_{3i}}{S_i}+\hat{\beta}_4\frac{X_{4i}}{S_i}+\hat{\beta}_5\frac{X_{5i}}{S_i}+\frac{e_{i}}{S_i}\tag{6.30}\\ Y^{\ast}_i &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2i}+\beta^{\ast}_3X^{\ast}_{3i}+\beta^{\ast}_4X^{\ast}_{4i}+\beta^{\ast}_5X^{\ast}_{5i}+v_{i} \tag{6.31} \end{align}\]

6.5.4.1.2 WLS矫正情形2： 方差\(\sigma^2_i\)正比于\(X^2_i\)

• 理论提示：

如果主模型(6.24)存在异方差问题，且假设方差正比于\(X^2_i\)，则有：

\[\begin{equation} var(u_i)=E(u^2_i)=\sigma^2_i=\sigma^2X^2_i \tag{6.32} \end{equation}\]

对主模型(6.24)两边同时除以\(X_i\)，得到：

\[\begin{align} \frac{Y_i}{X_{2i}} &=\frac{\hat{\beta}_1}{X_{2i}}+\hat{\beta}_2+\hat{\beta}_3\frac{X_{3i}}{X_{2i}}+\hat{\beta}_4\frac{X_{4i}}{X_{2i}}+\hat{\beta}_5\frac{X_{5i}}{X_{2i}}+\frac{e_{i}}{X_{2i}}\tag{6.33}\\ Y^{\ast}_i &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2i}+\beta^{\ast}_3X^{\ast}_{3i}+\beta^{\ast}_4X^{\ast}_{4i}+\beta^{\ast}_5X^{\ast}_{5i}+v_{i} \tag{6.34} \end{align}\]

• Eviews操作：

6.5.4.1.3 WLS矫正情形3： 方差\(\sigma^2_i\)正比于\(X_i\)

• 理论提示：

如果主模型(6.24)存在异方差问题，且假设方差正比于\(X_i\)，则有：

\[\begin{equation} var(u_i)=E(u^2_i)=\sigma^2_i=\sigma^2X_i \tag{6.35} \end{equation}\]

对主模型(6.24)两边同时除以\(\sqrt{X_i}\)，得到：

\[\begin{align} \frac{Y_i}{\sqrt{X_i}} &=\frac{\hat{\beta}_1}{\sqrt{X_i}}+\hat{\beta}_2\sqrt{X_i}+\hat{\beta}_3\frac{X_{3i}}{\sqrt{X_i}}+\hat{\beta}_4\frac{X_{4i}}{\sqrt{X_i}}+\hat{\beta}_5\frac{X_{5i}}{\sqrt{X_i}}+\frac{e_{i}}{\sqrt{X_i}}\tag{6.36}\\ Y^{\ast}_i &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2i}+\beta^{\ast}_3X^{\ast}_{3i}+\beta^{\ast}_4X^{\ast}_{4i}+\beta^{\ast}_5X^{\ast}_{5i}+v_{i} \tag{6.37} \end{align}\]

6.5.4.1.4 WLS矫正情形4： 方差\(\sigma^2_i\)正比于\(\hat{Y_i}^2\)

• 理论提示： 如果主模型(6.24)存在异方差问题，且假设方差正比于\(\hat{Y_i}^2\)，则有：

\[\begin{equation} var(u_i)=E(u^2_i)=\sigma^2_i=\sigma^2\hat{Y_i}^2 \tag{6.38} \end{equation}\]

对主模型(6.24)两边同时除以\(\hat{Y_i}\)，得到：

\[\begin{align} \frac{Y_i}{\hat{Y_i}} &=\frac{\hat{\beta}_1}{\hat{Y_i}}+\hat{\beta}_2\frac{X_{2i}}{\hat{Y_i}}+\hat{\beta}_3\frac{X_{3i}}{\hat{Y_i}}+\hat{\beta}_4\frac{X_{4i}}{\hat{Y_i}}+\hat{\beta}_5\frac{X_{5i}}{\hat{Y_i}}+\frac{e_{i}}{\hat{Y_i}}\tag{6.39}\\ Y^{\ast}_i &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2i}+\beta^{\ast}_3X^{\ast}_{3i}+\beta^{\ast}_4X^{\ast}_{4i}+\beta^{\ast}_5X^{\ast}_{5i}+v_{i} \tag{6.40} \end{align}\]

• Eviews操作：

6.5.4.1.5 WLS矫正情形5： 方差\(\sigma^2_i\)未知

• 理论提示： 如果主模型(6.24)存在异方差问题，且假设方差正比于\(\hat{Y_i}^2\)，则有：

\[\begin{equation} var(u_i)=E(u^2_i)=\sigma^2_i=\sigma^2\hat{Y_i}^2 \tag{6.38} \end{equation}\]

对主模型(6.24)两边同时取对数\(ln()\)，得到：

\[\begin{equation} ln{Y_t} =\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2ln{X_{2i}}+\hat{\beta}_ln{3X_{3i}}+\hat{\beta}_4ln{X_{4i}}+\hat{\beta}_5ln{X_{5i}}+e_{i} \tag{6.41} \end{equation}\]

6.5.4.2 使用White校正法矫正异方差问题

• 理论提示

• Eviews操作（见图6.23）

  1. 依次选择\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Estimation Equation
     
  2. 引导设置Equation Estimation \(\Rightarrow\) Specification
     1. 方程设置（Equation Specification）： 输入变量Y c X2 X3 X4 X5
     2. 估计方法（Estimation settings）：
        • Method：选择LS - Least Squares(NLS and ARMA)
        • Sample： 默认设置
  3. 引导设置Equation Estimation \(\Rightarrow\) Options
     1. 系数协方差设置（Coefficient covariance）
        • 协方差方法（Coefficient method）：下拉选择Huber-White
     2. 权重设置（Weights）：默认设置
     3. 最优化设置（Optimization）：默认设置
     4. 完成设置：点击OK
        
  4. 模型命名：建议为eq_adj_white
     
  5. 查看分析报告（见图6.24）

图 6.23: White异方差矫正法的操作

图 6.24: White异方差矫正法的Eviews报告

6.6 作业题

财富500强企业高管薪水数据：表6.3给出给出了447辆汽车在Y高管薪水及分红，X2担任 CEO年数（不足6个月视为的0），X3总裁CEO的年龄，X4企业的总销售收入，X5企业的利润，X6企业的总资产等方面的数据。

表 6.3: 财富500强企业高管薪水数据(n=447)

obs	Y	X2	X3	X4	X5	X6
1	3030	7	61	161315	2956.0	257389
2	6050	0	51	144416	22071.0	237545
3	3571	11	63	139208	4430.0	49271
4	3300	6	60	100697	6370.0	92630
5	10000	18	63	100469	9296.0	355935
443	1866	10	59	2934	375.0	35800
444	906	6	59	2933	193.9	4986
445	2300	9	57	2910	182.9	2739
446	875	7	50	2905	132.0	5009
447	1758	5	62	2896	16.6	2855

变量说明见表6.4：

表 6.4: 变量定义及说明

variable	label
obs	TOP500公司序号
Y	高管薪水及分红
X2	担任 CEO年数（不足6个月视为的0）
X3	总裁CEO的年龄
X4	企业的总销售收入
X5	企业的利润
X6	企业的总资产

请考虑如下样本回归模型：

\[\begin{equation} Y_i=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\beta_4X_{4i}+\beta_5X_{5i}+\beta_6X_{6i}+e_{i} \tag{6.42} \end{equation}\]

请回答如下问题:

1. 根据回归模型(6.42)，写出总体回归模型（PRM），并对参数的理论预期（符号、大小、关系）进行说明。
   
2. 利用Eviews对样本回归模型(6.42)进行回归分析（将报告截图过来，并写出相应的简要报告形式——三行式或四行式）。参数估计结果符合你的理论预期么？
   
3. 回归模型(6.42)存在异方差问题的证据吗？请以此按照下列方法进行诊断，并分别得到分析结论（要求截图过来并进行简要说明）：
   1. 非正式检验法（图解法）：
      • 绘制\(e_i\)序列和\(e^2_i\)序列的描点图（dot plot），得到你的初步结论。
        
      • 分别绘制\(e_i\)序列分别与\(Y_i\)、\(X_i(i=2,\cdots,6\)序列的散点图（scatter plot），得到你的初步结论
        
      • 分别绘制\(e^2_i\)与\(Y^2_i\)、\(X^2_i(i=2,\cdots,6\)序列的散点图（scatter plot），得到你的初步结论
        
   2. 正式检验法
      • 利用Park检验法，并得出你的初步结论（要求写出park诊断方程，并将park检验结果截图过来）
        
      • 利用Glejser检验法，并得出你的初步结论(请确定X，并做三个类型的辅助回归。分别将Glejser检验结果截图过来）

\[\begin{align} |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2X_{2i}+\cdots+\hat{\alpha}_kX_{ki}+v_i &&\text{G1} \\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\sqrt{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_k\sqrt{X_{ki}}+v_i &&\text{G2} \\ |e_i| & =\hat{\alpha}_1+\hat{\alpha}_2\frac{1}{X_{2i}}+\cdots+\hat{\alpha}_k\frac{1}{X_{ki}}+v_i &&\text{G3} \end{align}\]

3. 2. • 利用BPG检验法，并得出你的初步结论（要求写出BPG诊断方程，并将BPG检验结果截图过来）
        
      • 利用White检验法（注意交叉项的使用），并得出你的初步结论（要求写出White诊断方程，并将White检验结果截图过来）
        
4. 若发现存在异方差问题，你如何进行纠正主模型(6.42)？
   1. 使用White校正法纠正异方差问题，并比较与主模型(6.42)的差别。（要求分别截图两个回归方程的Eviews报告，进行对照分析并得到结论）
      
   2. 使用加权最小二乘法纠正异方差问题（提醒：根据前述分析，几种处理方法选择一种合适的处理方法，进行模型矫正分析。请说明你选择这种处理办法的理由，并得到分析结论！）
      
5. 现在做以 \(ln(Y_i)\)为因变量的第二个模型。异方差性有所改善吗?（要求截图相关Eviews报告，并简要陈述理由）。

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9. 记住“同方差只有一种情形，但异方差则可能有千万种”，类似于“喜剧的故事只有一个结局，但悲剧的故事则千差万别”！↩︎

10. 参考http://sharecourse.upln.cn/courses/c_201_02//usercontent/guoji/harvardchapter8.pdf，或者https://ac.els-cdn.com/S0304407600000166/1-s2.0-S0304407600000166-main.pdf?_tid=74404fee-bb9f-4aae-970a-f2514f33dd0b&acdnat=1528098795_0a93e11f8d4aacada503ac3576147d0b↩︎

11. 参考http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content%2FRegress2-Robust_Standard_Errors.html%23ww265857↩︎