第 7 章 自相关的诊断和矫正

7.1 实验目的及要求

• 目的：掌握自相关问题的检验与处理方法。
• 要求：在老师指导下完成计量经济模型的自相关检验，并对存在自相关的模型进行修正，最终得到正确的分析结果。

7.2 实验原理

使用时间序列数据建模时，我们往往会面临时间序列数据自相关的现实问题。如果存在自相关问题，则可能对模型及分析结论的科学性产生一定程度影响。

7.2.1 什么时候模型会出现自相关问题？

对于总体回归模型（PRM）：

\[\begin{equation} Y_t=\beta_1+\beta_2X_{2t}+\cdots+\beta_kX_{kt}+u_t \tag{7.1} \end{equation}\]

随机干扰项\(u_t\)可能与其滞后变量存在自相关现象，我们定义如下：

定义 7.1 (随机干扰项p阶自相关) 对于给定的滞后阶数\(p(p \subset \mathcal{N})\)下，随机干扰项\(u_t\)与其滞后变量\(u_{t-p}\)之间存在\(cov(u_t,u_{t-p}) \neq0\)。

在经典线性回归模型假设（CLRM）下，我们假设主模型(7.1)随机误差项\(u_t\)是无自相关的，也即\(u_t\)与\(u_{t-1}\)或任意其他滞后变量\(u_{t-p},\ \ p\in (1,2,\cdots)\)都不存在线性相关关系。如果这一假设不能得到保证，我们认为模型将出现自相关问题。

定义 7.2 (模型出现自相关问题) 对于主回归模型，如果给定任意的滞后阶数\(p \in (1,2,\cdots)\)，只要随机干扰项\(u_t\)与其滞后变量\(u_{t-p}\)之间存在\(cov(u_t,u_{t-p}) \neq 0\)的现象。

此时，模型(7.1)出现自相关问题也可以表达为方差-协方差的矩阵形式：

\[\begin{align} E(\mathbf{uu'|X})&= \begin{bmatrix} E(u^2_1) & E(u_1u_2) & \cdots & E(u_1u_n) \\ E(u_2u_1) & E(u^2_2) & \cdots & E(u_2u_n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ E(u_nu_1) & \cdots & \cdots & E(u_nu_n) \\ \end{bmatrix} \tag{7.2}\\ &= \begin{bmatrix} \sigma^2_1 & \sigma^2_{12} & \cdots & \sigma^2_{1n} \\ \sigma^2_{21} & \sigma^2_2 & \cdots & \sigma^2_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma^2_{n1} & \cdots & \cdots & \sigma^2_{nn} \\ \end{bmatrix} \tag{7.2}\\ &= \begin{bmatrix} \sigma^2 & \sigma^2_{12} & \cdots & \sigma^2_{1n} \\ \sigma^2_{21} & \sigma^2 & \cdots & \sigma^2_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma^2_{n1} & \cdots & \cdots & \sigma^2 \end{bmatrix} \tag{7.3} \end{align}\]

其中，方差-协方差矩阵（见公式(7.2)）的协方差部分（矩阵下三角）元素将不全为0（见公式(7.3)）。

简而言之，只要的随机干扰项\(u_t\)出现了任何形式的p阶自相关，我们都称模型(7.1)出现自相关问题。一种简单的情形就是马尔科夫1阶自相关：

\[\begin{align} Y_t&=\beta_1+\beta_2X_{2t}+\cdots+\beta_kX_{kt}+u_t \notag \\ u_t&=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t \tag{7.4}\\ \varepsilon_t &\sim \text{i.i.d} \ \ N(0,\sigma^2) \tag{7.5} \end{align}\]

当然，模型自相关的情形还有其他更加多样和复杂的形态，例如：

\[\begin{align} u_t&=\rho_1 u_{t-1}+\rho_2 u_{t-2}+\varepsilon_t \tag{7.6}\\ u_t&=\rho_2 u_{t-2}+\varepsilon_t \tag{7.7}\\ &\cdots\\ \varepsilon_t &\sim \text{i.i.d} \ \ N(0,\sigma^2) \tag{7.5} \end{align}\]

7.2.2 随机干扰项自相关有哪些表现形态？

对于马尔科夫1阶自相关情形（见公式(7.4)），如果自相关系数\(-1<\rho<0\)，则随机干扰项\(u_t\)及其一阶滞后变量具有某种图形模式（见图7.1）：其中\(u_t\)的时序图表现为正弦波形态，而\(u_t\)与\(u_{t-1}\)的散点图表现为正的线性相关关系。

图 7.1: 随机干扰项自相关模式图

7.2.3 自相关问题模型会有什么后果？

模型出现自相关问题时时，主要的影响包括：

• 普通最小二乘法（OLS）估计量仍是线性的、无偏的和一致性的
• 普通最小二乘法（OLS）估计量将不再是有效的(亦即最小方差)
• 模型参数的显著性检验失去意义
• 模型的预测将失效
• 模型的异方差检验流程也会变得不可靠

我们可以对马尔科夫一阶自相关情形做简要的证明：

证明 (马尔科夫1阶自相关下的理论后果). 已知模型存在马尔科夫一阶自相关情形，则有：

\[\begin{align} Y_t&=\beta_1+\beta_2X_{2t}+\cdots+\beta_kX_{kt}+u_t \notag \\ u_t&=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t \notag \\ \varepsilon_t &\sim \text{i.i.d} \ \ N(0,\sigma^2_\varepsilon) \notag \end{align}\]

在经典线性回归模型假设下（CLRM），执意采用普通最小二乘法（OLS），我们容易可以得到斜率参数的点估计值\(\hat{\beta}_2\)及其方差\(\mathrm{var}(\hat{\beta}_2)\)： \[\begin{align} \hat{\beta}_2 &=\frac{\sum{x_ty_t}}{\sum{x^2_t}}\\ E(\hat{\beta}_2) & =\beta_2 \\ \mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{CLRM} &=\frac{\sigma^2}{\sum{x^2_t}} \end{align}\]

反之，如果我们考虑到一阶自相关问题已经违背了经典线性回归模型假设（CLRM），但仍采用普通最小二乘法（OLS），则斜率参数的点估计值\(\hat{\beta}_2\)及其方差\(\mathrm{var}(\hat{\beta}_2)\)的理论计算结果应该为：

\[\begin{align} \begin{split} \hat{\beta}_2 & =\frac{\sum{x_ty_t}}{\sum{x^2_t}} \\ E(\hat{\beta}_2) & =\beta_2 \\ \mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{AR1} &=\frac{\sigma^2}{\sum{x^2_t}}+\frac{2\sigma^2}{\sum{x^2_t}} \\ &\cdot \left [\rho\frac{\sum_{t=1}^{n-1}{x_tx_{t+1}}}{\sum_{t=1}^n{x^2_t}}+\rho^2\frac{\sum_{t=1}^{n-2}{x_tx_{t+2}}}{\sum_{t=1}^n{x^2_t}}+\cdots+\rho^{n-1}\frac{{x_1x_n}}{\sum_{t=1}^n{x^2_t}} \right ]\\ &\simeq \frac{\sigma^2}{\sum{x^2_t}} \left ( \frac{1+r\rho}{1-r\rho} \right ) \end{split} \end{align}\]

其中，\(r\)为简单相关系数。因此，我们可以发现：

\[\begin{align} \mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{AR1} &\simeq \frac{\sigma^2}{\sum{x^2_t}} \left ( \frac{1+r\rho}{1-r\rho} \right )\\ &=\mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{CLRM}\cdot \left ( \frac{1+r\rho}{1-r\rho} \right ) \end{align}\]

从而证明了\(\mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{AR1}\)与\(\mathrm{var}(\hat{\beta}_2)^{OLS}_{CLRM}\)是不相等的，也即表明当模型存在一阶自相关问题时，普通最小二乘法估计量仍是线性和无偏的，但却不再是方差最小的。¹²

7.2.4 如何诊断模型存在自相关问题？

显然，模型如果存在自相关问题，应该努力侦察随机干扰项\(u_t\)及其滞后变量\(u_{t-1},\cdots,u_{t-p} \ \ (p\in \mathcal{N})\)的行为模式。

对于总体回归模型存在一阶马尔科夫自回归情形： \[\begin{align} \begin{split} Y_t&=\beta_1+\beta_2X_{2t}+\cdots+\beta_kX_{kt}+u_t \notag \\ u_t&=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t \notag \\ \varepsilon_t &\sim \text{i.i.d} \ \ N(0,\sigma^2_\varepsilon) \notag \end{split} \text(PRM-AR1) \tag{7.8} \end{align}\]

我们也有理由认为，样本回归模型（SRM）也会继承总体回归模型（PRM）的特征，从而有：

\[\begin{align} \begin{split} Y_t&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2t}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{kt}+e_t \notag \\ e_t&=\hat{\rho} e_{t-1}+v_t \notag \\ v_t &\sim \text{i.i.d} \ \ N(0,\sigma^2_v) \notag \end{split} \text(SRM-AR1) \tag{7.9} \end{align}\]

鉴于样本回归模型（SRM）的残差\(e_t\)及其滞后变量\(e_{t-1},\cdots,e_{t-p} \ \ (p\in \mathcal{N})\)是可观测的，因此诊断模型是否存在自相关问题往往就转化为侦察残差\(e_t\)及其滞后变量\(e_{t-1},\cdots,e_{t-p} \ \ (p\in \mathcal{N})\)的行为模式。总体来看，诊断模型是否存在自相关问题，主要包括两大类方法：

• 图形观察法：
  1. 残差序列观察法（描点图法）：绘制\(e_t\)序列的描点图（dot plot）
     
  2. 残差序列观察法（描点图法）：确定滞后阶数并分别绘制\(e_t\)序列与\({e_{t-1},e_{t-2},\cdots}\)序列的散点图（scatter plot）
• 定量分析法：
  1. 辅助回归法：构建残差\(e_t\)序列对\({e_{t-1},e_{t-2},\cdots}\)序列的辅助回归方程
     
  2. 自相关和偏相关分析法：Eviews菜单操作对残差\(e_t\)序列进行自相关和偏相关分析
  3. Durbin-Watson检验法：分析Eviews报告中的D-W统计量
     
  4. 拉格朗日检验法（LM-test）：Eviews菜单操作进行布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)

显然，模型无自相关是一种假设的理想状态。而事实是，模型只要存在任何一种情形的自相关模式，我们都称模型出现了自相关问题。因此，我们使用以上任一诊断方法，只要发现了自相关的明显证据，则都应该引起重视。

辅助回归方程诊断法：分析主回归模型(7.11)，然后或者通过图形观察，或者通过猜测和尝试，再对残差及其滞后变量进行辅助回归建模(7.12)分析：

\[\begin{align} Y_t&={\beta}_1+{\beta}_2X_{2t}+\cdots+{\beta}_kX_{kt}+u_t &&\text{PRM} \tag{7.10} \\ Y_t&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2t}+\cdots+\hat{\beta}_kX_{kt}+e_t &&\text{SRM}\tag{7.11} \\ e_t&=\hat{\rho}_1e_{t-1}+\hat{\rho}_2e_{t-2}+\cdots+\hat{\rho}_pe_{t-p}+\varepsilon_t &&\text{auxiliary equation}\tag{7.12}\\ \end{align}\]

其中，\(p=1,2,\cdots,t-1\)。实际上，具体的辅助诊断模型(7.12)往往需要多次尝试，由简单模型逐渐到扩展模型。为简单起见，我们可以先做AR(1)辅助方程（也即\(e_t\)对\(e_{t-1}\)的回归）或AR(2)辅助方程（也即\(e_t\)对\(e_{t-1}\)和\(e_{t-2}\)的辅助回归）。

辅助回归方程诊断法的诊断标准是：

• 如果诊断辅助方程(7.12)的F检验不显著（对应的概率值P>0.1），则表明主模型(7.11)无自相关问题（注意是指表现为辅助方程形式的自相关问题）

• 如果诊断辅助方程(7.12)的F检验显著（对应的概率值P<0.1），则表明主模型(7.11)存在自相关问题（注意是指表现为辅助方程形式的自相关问题）

7.2.5 如何矫正存在自相关问题模型？

对于存在自相关问题的模型，我们的最终目标应该是矫正并得到一个替代的新模型，使得该新模型能满足经典线性回归模型假设（CLRM），从而可以继续采用普通最小二乘法（OLS），最终估计并获得总体参数的最优线性无偏估计量（BLUE）。

自相关问题模型矫正的前提，首要工作是判明问题模型的自相关形式。它可以是简单的马尔科夫一阶自相关（见公式(7.8)），也可以是更复杂的高阶自相关形式。然后再采用针对性的方法，把自相关问题模型处理为无自相关问题的新模型。从模型矫正的操作方法来看，这些针对性的矫正方法可以分为广义差分方程法（General difference equation，GDE ）¹³和一致标准误校正法（Heteroscedasticity and autocorrelation consistent standard error，HAC）¹⁴。当然，从实际矫正操作流程来看，矫正方法也可以划分为如下两大类：

• 广义差分方程两步法（Two-steps）：
  1. 广义最小二乘法(GLS)：一阶差分法变换
     
  2. 广义最小二乘法(GLS)：基于残差辅助方程近似得到\(\rho\)
     
  3. 广义最小二乘法(GLS)：基于D-W统计量近似计算得到\(\rho\)
  4. 广义最小二乘法(GLS)：基迭代法近似计算得到\(\rho\)
• 标准误校正一步法（One-steps）：
  1. 一致标准误校正法（HAC）：尼威-威斯特(Newey-West)校正法

7.3 实验内容

1. 采用最小二乘法建立主回归模型

2. 自相关问题模型的侦察方法

   1. 残差序列观察法（描点图法）：绘制\(e_t\)序列的描点图（dot plot）
      
   2. 残差序列观察法（描点图法）：确定滞后阶数并分别绘制\(e_t\)序列与\({e_{t-1},e_{t-2},\cdots}\)序列的散点图（scatter plot）
      
   3. 辅助回归法：构建残差\(e_t\)序列对\({e_{t-1},e_{t-2},\cdots}\)序列的辅助回归方程
      
   4. 自相关和偏相关分析法：Eviews菜单操作对残差\(e_t\)序列进行自相关和偏相关分析（注意滞后阶数的选择）
   5. Durbin-Watson检验法：分析Eviews报告中的D-W统计量
      
   6. 拉格朗日检验法（LM-test）：Eviews菜单操作进行布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)

3. 自相关问题模型的矫正方法：

   1. 广义最小二乘法(GLS)：一阶差分法变换
      
   2. 广义最小二乘法(GLS)：基于残差辅助方程近似得到\(\rho\)
      
   3. 广义最小二乘法(GLS)：基于D-W统计量近似计算得到\(\rho\)
      
   4. 广义最小二乘法(GLS)：基迭代法近似计算得到\(\rho\)
   5. 一致标准误校正法（HAC）：尼威-威斯特(Newey-West)校正法

7.4 实验准备

7.4.1 实验软件

本次实验需要提前准备好如下软件：

• 统计分析软件Eviews 9.0版本及以上
• 公式编辑软件Mathtype 6.0版本及以上
• 写作编辑软件Office Word/Excel 2010版本及以上
• 浏览器软件chrome 66.0版本及以上或 360极速浏览器9.5版本及以上

7.4.2 实验材料

商业部门的工资水平与生产率：表7.1给出给出了美国46个商业部门Y部门工资水平，X部门生产率等方面的数据。

表 7.1: 美国部门工资数据(n=46)

obs	Y	X
1960	60.8	48.9
1961	62.5	50.6
1962	64.6	52.9
1963	66.1	55.0
1964	67.7	56.8
2001	113.5	119.1
2002	115.7	124.0
2003	117.7	128.7
2004	119.0	132.7
2005	120.2	135.7

变量说明见表7.2：

表 7.2: 变量定义及说明

variable	label
obs	年份
Y	部门工资水平
X	部门生产率

 

请考虑如下样本回归模型：

\[\begin{equation} log(Y_t)=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2log(X_{2t})+e_{t} \tag{7.13} \end{equation}\]

7.4.3 实验规则

本实验将要求保留Eviews操作过程的相关结果，因此对Eviews对象命名规则设计如下：

• 方程对象（Equation）的命名规则：
  • 主回归方程对象保存命名为eq_m0
  • 自相关问题诊断中的辅助回归方程，根据具体诊断类型，酌情保存并命名为：
    • 残差AR1辅助方程诊断法：eq_ar1_test
    • \(\cdots\)
  • 自相关问题GLS矫正后的回归方程，根据具体矫正类型，酌情保存并命名为：
    • 基于残差辅助方程结果进行1阶广义差分（GLS）矫正：eq_adj_ar1
    • 基于D-W统计量结果进行广义差分（GLS）矫正：eq_adj_dw
  • 自相关问题可行广义最小二乘法(FGLS)矫正后的回归方程，根据具体矫正类型，酌情保存并命名为：
    • 基于科克伦-奥克特迭代法(Cochrane-Orcutt iterative procedure)：eq_adj_co
  • 自相关问题一致性标准误校正法（HAC），也即尼威-威斯特(Newey-West)校正法矫正后的回归方程，保存并命名为：eq_adj_nw
• 序列对象（Series）的命名规则：
  • （主回归方程的）残差序列，保存并命名为et
  • （主回归方程的）标准化残差序列，保存并命名为et_sd
  • （主回归方程的）倍数放大（或缩小）的残差序列（此处为放大100倍，具体应视案例而定），保存并命名为et_100
  • （主回归方程的）残差滞后序列，酌情分别保存并命名为：
    • et_l1
    • et_l2
    • \(\cdots\)
• 图形对象（Graph）的命名规则：
  • 残差\(e_t\)、标准化残差\(e_t^{\ast}\)、倍数放大残差\(\hat{e}_t\)的描点图（dot plot），绘制成一张图，保存并命名为并命名为：dot_resid
  • 残差\(e_t\)相对于残差一阶滞后变量\(e_{t-1}\)的散点图（scatter）,保存并命名为并命名为：scatter_et
• 表格对象（Table）的命名规则：
  • 自相关问题的自相关和偏相关诊断法，另存并命名为：tab_corrl_test
  • 自相关问题的拉格朗日诊断法（LM-test），另存并命名为：tab_LM_test
• 标量对象（Scalar）的命名规则：
  • 自相关问题模型矫正的不同方法中，可能会计算得到\(\rho\)的近似$，具体命名视不同矫正方法：
    • 基于残差辅助方程结果进行1阶广义差分（GLS）矫正：rho_ar1
    • 基于D-W统计量结果进行广义差分（GLS）矫正：rho_dw
    • 基于科克伦-奥克特迭代法的可行广义最小二乘法(FGLS)矫正：rho_co

7.5 主要实验步骤

7.5.1 导入数据并进行预处理

• 目标：
• 思路：
• 新建Eviews工作文件（见图7.2）
  • 提示：Excel数据，每个同学的Y数据都不同，找到自己学号对应下的Y
  • Eviews菜单操作：
    1. 依次操作：File\(\Rightarrow\)New\(\Rightarrow\)Workfile
    2. 进行workfile create引导设置：
       • workfile structure type: unstructured/undatede
       • data range：46
       • workfile names(optional):
         • WF: wage（建议命名）
         • Page: corrl（建议命名）
• Eviews导入数据
  • 提示：Excel数据，每个同学的Y数据都不同，找到自己学号对应下的Y数据（X数据所有同学都一样）
    
  • 菜单操作（Excel和Eviews）：
    1. Excel找到数据。Excel表格中仅保留自己需要的数据（obs, Y, X）
    2. Eviews导入数据。File\(\Rightarrow\)Import\(\Rightarrow\)Import From File：d:/econometrics/data/Lab7-wage.xlsx

图 7.2: 导入数据的Eviews视窗

7.5.2 采用最小二乘法建立主回归模型

• 目标：
• 思路：
• 提示：主回归模型为

\[log(Y_t)=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2log(X_{2t})+e_{t}\]

• Eviews菜单操作（见图7.3）：

  1. 依次选择\(\Rightarrow\)Quick\(\Rightarrow\)Estimation Equation
     

  2. 引导设置Equation Estimation\(\Rightarrow\)specification

     1. Equation specification：输入命令 log(Y) c log(X)
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: 默认设置
     3. 点击OK
        

  3. 模型命名：建议为eq_m0

     主回归分析结果见图7.4：

图 7.3: 主回归模型Eviews操作

图 7.4: 主回归模型Eviews报告

7.5.3 侦查模型是否存在自相关问题

诊断方法包括残差观察法、辅助回归法、自相关和偏相关分析法、Durbin-Watson检验法、拉格朗日检验法（LM-test）等。分析Eviews诊断报告，与相关参考标准进行比较，得到相关结论

7.5.3.1 残差观察法：

• 目标：观察残差序列、标准化残差序列，以及残差滞后序列之间的图形模式和图形关系的图形模式
• 思路：判定\(e_t,e^{\ast}_t,e_{t-1},\cdots,e_{t-s}\)等的图形模式和关系
• 提示：
  • 描点图（dot plot）是分析一个变量的图形模式。例如残差\(e_t\)或标准化残差\(e^{\ast}_t\)（做纵轴）相对于时间\(t\)（做横轴）的图形关系
  • 散点图（scatter plot）是分析两个变量之间的图形模式。例如\(e_t\)（做纵轴），相对于\(e_{t-1}\)或\(e_{t-2}\)或\(e_{t-s}\)的图形关系。
• Eviews菜单操作：
  1. 分别生成残差序列\(e_t\)、放大100倍的残差（请根据实际情况酌情考虑调整倍数，目的是便于与标准化残差做比较）、标准化残差序列\(e^{\ast}_t\)和滞后一阶变量\(e_{t-1}\)序列（见图7.5）
     1. 命令视窗（Command）依次输入命令（建议分别命名为et、et_100、et_sd和et_l1）
        • series et=resid
        • series et_100=100*resid
        • series et_sd=et/@stdev(et)
        • series et_l1=et(-1)
     2. 运行命令：命令行中按Enter键
        
     3. 查看结果：
        • 双击et
        • 双击et_100
        • 双击et_sd
        • 双击et_l1
  2. 绘制残差\(e_t\)和标准化残差\(e^{\ast}_t\)序列的描点图（dot plot）（见图7.6）
     1. 选择序列对象：键盘Ctrl键+依次单击选择序列et和et_sd
     2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Graph
        • 选择绘图类型(Graph type)：Dot plot
        • 选择绘图细节(Detail)：\(\Rightarrow\) Multiple series \(\Rightarrow\) 下拉选择 Multiple graphs
     3. 点击完成：OK
     4. 命名并保存绘图（graph）对象：建议命名为dot_resid
     5. 查看结果：双击dot_resid（见图7.7）
  3. 绘制\(e_t\)序列对\(e_{t-1}\)的散点图（scatter plot）（见图7.8）
     1. 选择序列对象：键盘Ctrl键+依次单击选择序列et；et_l1
     2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Graph
        • 选择绘图类型(Graph type)：Scatter
        • 选择绘图细节(Detail)：默认设置
     3. 点击完成：OK
     4. 命名并保存绘图（graph）对象：建议命名为scatter_et
     5. 查看结果：双击scatter_et（见图7.8）

图 7.5: 生成相关变量

图 7.6: 残差及标准化残差的描点图

图 7.7: 残差及标准化残差的描点图报告

图 7.8: 残差与残差滞后变量的散点图

7.5.3.2 辅助回归法：

• 目标：根据残差图模式，构建残差辅助回归方程，得到你的初步结论

• 思路：分析残差\(e_t\)序列对\(e_{t-1},e_{t-2},\cdots\)序列的辅助回归方程(7.12)的Eviews报告

• Eviews操作（此处仅展示AR(1)辅助回归方程的情形，菜单操作实现具体见图7.9）：

  1. 依次选择\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Estimation Equation
     
  2. 引导设置Equation Estimation \(\Rightarrow\) specification
     1. Equation specification：输入命令et et_l1
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: （默认设置）
     3. 点击完成：OK
     4. 命名保存方程对象：（建议命名为eq_ar1_test）
     5. 查看结果：双击eq_ar1_test

具体Eviews报告见7.10：

图 7.9: 残差辅助回归方程的Eviews诊断操作

图 7.10: 残差辅助回归方程的诊断报告

7.5.3.3 自相关和偏相关分析法

• 目标：根据残差自相关和偏相关图表结果，得到你的初步结论

• 思路：分析残差\(e_t\)序列对\(e_{t-1},e_{t-2},\cdots\)序列的自相关和偏相关Eviews报告（注意滞后阶数的选择）

• Eviews操作（菜单操作实现，具体见图7.11）：

  1. 打开残差序列：双击序列（Series）对象et
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Correlogram \(\Rightarrow\) Correlogram Specification
     • 设置诊断序列（Correlogram of）: 点击选择Level
     • 设置诊断阶数（Lags to include）：默认设置
       
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（talbe）对象：点击name(建议为tab_corrl_test)
     • 查看结果：双击tab_corrl_test

具体Eviews报告见7.12：

图 7.11: 残差自相关和偏相关分析的Eviews操作

图 7.12: 残差自相关和偏相关的Eviews报告

7.5.3.4 Durbin-Watson检验法

• 目标：观察主回归方程分析报告的D-W统计量，根据诊断标准，得出初步结论
• 思路：得到Durbin-Watson的d统计量，并查表得到理论\(\chi^2(n,k,\alpha)\)分布标准值\(d_L\)和\(d_U\)，进行比较
• 理论提示：
  • Durbin-Watson统计量服从\(\chi^2(n,k,\alpha)\)分布¹⁵
  • \(d_L\)和\(d_U\)的理论值使用bootstrap方法仿真计算得到，与\((n,k,\alpha)\)有关
  • \(d_L\)和\(d_U\)的理论值可以查表¹⁶
• 判定准则
  • 如果\(0<d<d_L\)，则表明主模型(7.13)可能存在的一阶正自相关问题
  • 如果\(4-d_L<d<4\)，则表明主模型(7.13)可能存在的一阶负自相关问题
• 分析结论： 根据主回归报告（见图7.4），Durbin-Watson的d统计量为\(d=0.2176\)。 查表可知在当\((n='r n ',k=3,\alpha=0.05)\)时，\(d_L=1.475,d_U=1.566\)，表明\(0<d<d_L\)，因此认为主模型(7.13)可能存在的一阶正自相关问题。

7.5.3.5 拉格朗日检验法（LM-test）

• 目标：对主回归方程进行布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)，根据诊断标准，得出初步结论

• 思路：利用Eviews菜单操作Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Serial Correlation LM Test

• 理论提示：

  • 布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)可以检验高阶自相关的情形（见模型(7.14)）
  • 布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)将计算得到一个服从\(\chi^2\)分布的LM统计量，具体为\(LM=(n-p)R^2~\chi^2_p\)

\[\begin{equation} u_t=\rho_1e_{t-1}+\rho_2e_{t-2}+\cdots+\rho_pe_{t-p}+\varepsilon_t \tag{7.14} \end{equation}\]

• 诊断标准
  • 如果LM检验不显著，也即\(LM<\chi^2(p,\alpha)\)，则表明主模型(7.13)不存在的p阶自相关问题
  • 如果LM检验显著，也即\(LM>\chi^2(p,\alpha)\)，则表明主模型(7.13)存在的p阶自相关问题
• Eviews操作（菜单操作实现，具体见图7.13）：
  1. 打开主方程：双击方程（equation）对象eq_m0
     
  2. 进入引导菜单：\(\Rightarrow\) View \(\Rightarrow\) Residual Diagnostics \(\Rightarrow\) Serial Correlation LM Test
     2） 设置检验阶数（Lag Specification）: 输入滞后阶数1（酌情尝试）
     
  3. 完成设置：点击Ok
     
  4. 命名并保存表格（table）对象
     • 另存为表格（table）对象：点击Freeze
     • 命名并保存表格（table）对象：点击name(建议为tab_LM_test)
     • 查看结果：双击tab_LM_test

具体Eviews报告见7.14：

图 7.13: 拉格朗日自相关检验的Eviews操作

图 7.14: 拉格朗日自相关检验的Eviews报告

7.5.4 自相关问题模型的矫正

7.5.4.1 广义最小二乘法(GLS)：广义差分法变换（自相关系数已知）

• 目标：对主回归方程进行合适的广义差分变换，使得变换以后的新模型不再有自相关问题

• 思路：如果主模型随机干扰项的自相关系数已知（见模型(7.16)），则可以直接用差分变换得到新模型（见模型(7.18)），容易证明新模型将不再有自相关问题（见模型(7.19)）。

• 理论提示：如下将展示一阶自相情形下的广义差分变换的理论过程

\[\begin{align} Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \tag{7.15}\\ u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{AR(1)} \tag{7.16}\\ \rho Y_{t-1} & =\rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \tag{7.17}\\ (Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && \Delta\text{ Model} \tag{7.18}\\ Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} \tag{7.19}\\ \end{align}\]

其中，AR(1)模型(7.16)中的\(\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})\)。

7.5.4.2 广义最小二乘法(GLS)：基于残差辅助方程近似估计得到\(\rho\)（自相关系数未知）

• 目标：对主回归方程进行合适的广义差分变换，使得变换以后的新模型不再有自相关问题

• 思路：如果主模型随机干扰项的自相关系数未知（见模型(7.21)），则可以直接用基于残差辅助方程估计得到\(\hat{\rho}\)，再根据\(\rho\simeq\hat{\rho}\)用广义差分变换得到新模型（见模型(7.25)），容易证明新模型将不再有自相关问题（见模型(7.26)）。

• 理论提示：如下将展示一阶自相情形下的广义差分变换的理论过程

\[\begin{align} Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \tag{7.20}\\ u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{AR(1)} \tag{7.21}\\ Y_t & =\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2t}+e_{t} && \text{SRM} \tag{7.22}\\ e_t & =\hat{\rho}e_{t-1}+v_t && \text{Auxiliary Model} \tag{7.23}\\ \rho & \simeq \hat{\rho} \notag \\ \rho Y_{t-1} & =rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \tag{7.24}\\ (Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && \Delta1\text{ Model} \tag{7.25}\\ Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} \tag{7.26} \end{align}\]

其中，AR(1)模型(7.21)中的\(\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})\)。

• Eviews菜单操作
  1. 提取辅助回归方程的回归系数。构建一个标量（Scalar）对象rho_ar1，并将辅助回归方程的回归系数赋值给这个标量对象rho_ar1。具体过程参看图7.15
     1. 命令视窗（Command）输入命令 ：scalar rho_ar1=@round(10000*eq_ar1_test.@coefs(1))/10000
     2. 运行命令：命令行中按Enter键
     3. 查看结果：双击rho_ar1
  2. 进行一阶广义差分变换，并估计新模型。依次选择\(\Rightarrow\)Quick\(\Rightarrow\)Estimation Equation\(\Rightarrow\)specification。具体过程参看图7.16
     1. Equation specification：输入命令 (log(y)-rho_ar1*log(y(-1))) c (log(x)-rho_ar1*log(x(-1)))
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: 默认设置
     3. 点击OK
        
     4. 模型命名：建议为eq_adj_ar1
     5. 查看结果：双击eq_adj_ar1
  3. 说明（Eviews代码行的解读^[具体细节请参看Eviews在线帮助文档，网址http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content%2FRegress1-Equation_Output.html%23）：
     1. 代码scalar rho_ar1=@round(10000*eq_ar1_test.@coefs(1))/10000表示给创建一个标量（Scalar）对象rho_ar1,并把辅助模型(7.12)的回归系数的第一个值提取出来，并赋值给这个名为rho_ar1的标量对象，同时保留四位小数。
     2. 代码eq_ar1_test.@coefs(1)表示提取方程（equation）对象eq_ar1_test的回归系数的第一个值。
     3. 代码@round(10000*( ))/10000表示对数据保留4为小数。

图 7.15: 基于残差辅助方程近似计算自相关系数

图 7.16: 基于残差辅助方程的广义差分矫正操作

图 7.17: 基于残差辅助方程的广义差分矫正报告

7.5.4.3 广义最小二乘法(GLS)：基于D-W统计量近似计算得到\(\rho\)（自相关系数未知）

• 目标：对主回归方程进行合适的广义差分变换，使得变换以后的新模型不再有自相关问题

• 思路：如果主模型随机干扰项的自相关系数未知（见模型(7.28)），则可以基于Durbin-Waston检验的d统计量计算得到\(\hat{\rho}\)（见模型(7.29)和模型(7.30)），再根据\(\rho\simeq\hat{\rho}\)用广义差分变换得到新模型（见模型(7.32)），容易证明新模型将不再有自相关问题（见模型(7.33)）。

• 理论提示：如下将展示一阶自相情形下的广义差分变换的理论过程

\[\begin{align} Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \tag{7.27}\\ u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{AR(1)} \tag{7.28}\\ d & \simeq2(1-\hat{\rho}) && \text{Durbin-Waston} \tag{7.29}\\ \hat{\rho} & \simeq 1-d/2 \tag{7.30}\\ \rho & \simeq \hat{\rho} \notag \\ \rho Y_{t-1} & =rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \tag{7.31}\\ (Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && \Delta1\text{ Model} \tag{7.32}\\ Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} \tag{7.33} \end{align}\]

其中，AR(1)模型(7.28)中的\(\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})\)。

• Eviews菜单操作
  1. 提取并得到Durbin-Waston统计量。构建一个标量（Scalar）对象，建议命名为dw。具体过程参看图7.18
     1. 命令视窗（Command）输入命令 ：scalar dw=eq_m0.@dw
     2. 运行命令：命令行中按Enter键
     3. 查看结果：双击rho_dw
        
  2. 计算得到自相关系数的近似值\(\rho \simeq\)=1-d/2$。构建一个标量（Scalar）对象，建议命名为rho_dw。具体过程参看图7.18 。
     1. 命令视窗（Command）输入命令 ：scalar rho_dw=@round(10000*(1-dw/2))/10000
     2. 运行命令：命令行中按Enter键
     3. 查看结果：双击rho_dw
  3. 进行一阶广义差分变换，并估计新模型。依次选择\(\Rightarrow\)Quick\(\Rightarrow\)Estimation Equation\(\Rightarrow\)specification。具体过程参看图7.19
     1. Equation specification：输入命令 (log(y)-rho_dw*log(y(-1))) c (log(x)-rho_dw*log(x(-1)))
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: 默认设置
     3. 点击OK
        
     4. 模型命名：建议为eq_adj_dw
     5. 查看结果：双击eq_adj_dw
  4. 说明（Eviews代码行的解读^[具体细节请参看Eviews在线帮助文档，网址http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content%2FRegress1-Equation_Output.html%23）：
     1. 代码scalar d=eq_m0.@dw表示给创建一个标量（Scalar）对象dw,并把主模型(7.13)的Durbin-Waston统计量值提取出来，并赋值给这个名为dw的标量对象。
     2. 代码scalar rho_dw=@round(10000*(1-dw/2))/10000计算得到标量（Scalar）对象rho_dw，并对数据取4位小数。

图 7.18: 基于Durbin-Waston统计量近似计算自相关系数

图 7.19: 基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正操作

图 7.20: 基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正报告

7.5.4.4 可行广义最小二乘法(FGLS)：基迭代法近似计算得到\(\rho\)（自相关系数未知）

• 目标：对主回归方程进行合适的广义差分变换，使得变换以后的新模型不再有自相关问题
• 思路：
  • 如果主模型随机干扰项的自相关系数未知，而且存在高阶自相关情形，则可以使用基于迭代的可行广义最小二乘法(FGLS)计算得到\(\hat{\rho_1},\hat{\rho_2},\cdots,\hat{\rho_p}\ \ p\in(1,2,\cdots)\)，再根据\(\rho\simeq\hat{\rho}\)用广义差分变换得到新模型（见模型(7.32)），容易证明新模型将不再有自相关问题（见模型(7.33)）。
  • 这些迭代方法主要包括科克伦-奥克特迭代法(Cochrane-Orcutt iterative procedure) ;科克伦-奥克特两步法(Cochrane-Orcutt two-step procedure) ;德宾两步法(Durbin two-step procedure) ;希尔德雷思-卢扫描或搜寻程序(Hildreth-Lu scanning or search procedure) 等
• 理论提示：如下将展示科克伦-奥克特迭代法下对二阶自相关（\(AR(p),p=2\)）情形下的广义差分变换的理论过程

\[\begin{align} Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \tag{7.34}\\ u_t & =\rho_1u_{t-1}+\rho_2u_{t-2}+\varepsilon_t && \text{AR(2)} \tag{7.35}\\ \cdots & \text{Cochrane-Orcutt iterative procedure} \notag \\ \rho_p & \simeq \hat{\rho_p} \notag \\ \rho_1Y_{t-1} & =\rho_1\beta_1+\beta_2\rho_1X_{2t-1}+\rho_1u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \tag{7.36}\\ \rho_2Y_{t-2} & =\rho_2\beta_1+\beta_2\rho_2X_{2t-2}+\rho_2u_{t-2} && \text{Lag 2 Model} \tag{7.37}\\ \end{align}\]

\[\begin{align} \begin{split} (Y_t-\rho_1Y_{t-1}-\rho_2Y_{t-2}) & =\beta_1(1-\rho_1-\rho_2)\\ & +\beta_2(X_{2t}-\rho_1X_{2t-1}-\rho_2X_{2t-2}) \\ & +(u_t-\rho_1u_{t-1}-\rho_2u_{t-2}) \end{split} && \Delta2\text{ Model} \tag{7.38} \end{align}\]

\[\begin{align} Y^{\ast}_t &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} \tag{7.39} \end{align}\]

• Eviews菜单操作（此处展示的是AR(1)的自相关情形，见图7.21）：

  1. 依次选择\(\Rightarrow\)Quick\(\Rightarrow\)Estimation Equation
     

  2. 引导设置Equation Estimation\(\Rightarrow\)specification

     1. Equation specification：输入命令 log(Y) c log(X) AR(1)
     2. Estimation settings：
        • Method: 下拉选择LS - Least Squares (NLS and ARMA)
        • Sample: 默认设置
     3. 点击OK
        

  3. 模型命名：建议为eq_adj_CO

     主回归分析结果见图7.22：

  4. 提取并得到科克伦-奥克特迭代法下近似的残差自相关系数\(\rho\)。构建一个标量（Scalar）对象，建议命名为rho_co。具体过程参看图7.23

     1. 命令视窗（Command）输入命令 ：scalar rho_co=eq_adj_co.@coefs(3)
     2. 运行命令：命令行中按Enter键
     3. 查看结果：双击rho_co
        

  5. 说明（Eviews代码行的解读^[具体细节请参看Eviews在线帮助文档，网址http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content%2FRegress1-Equation_Output.html%23）：

     1. 代码scalar rho_co=eq_adj_co.@coefs(3)表示给创建一个标量（Scalar）对象rho_co,并把方程（Equation）对象eq_adj_co的第三个回归系数提取出来，赋值给这个标量对象rho_co。

图 7.21: 基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews操作

图 7.22: 基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews报告

图 7.23: 基于科克伦-奥克特迭代法近似计算的自相关系数

7.5.4.5 一致性标准误校正法（HAC）：尼威-威斯特(Newey-West)校正法

• 目标：直接用尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正流程方法，构建回归分析模型，此时模型的自相关问题将会有所缓解。
  

• 思路：利用Eviews菜单操作，进行基于尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序的建模分析。

• 理论提示：（数学表达和证明过程略）

  • 异方差-自相关一致性标准误（heteroscedasticity-autocorralation consistent standard errors，HAC）也被简称为尼威-威斯特一致性标准误(Newey-West consistent standard errors)
  • 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序或菜单，在主流的统计软件里都会配置
  • 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序，严格意义上对于大样本数据是有效的，因此不太适合于小样本数据的情形。

• Eviews操作（见图7.24）

  1. 依次选择\(\Rightarrow\) Quick \(\Rightarrow\) Estimation Equation
     
  2. 引导设置Equation Estimation \(\Rightarrow\) Specification
     1. 方程设置（Equation Specification）： 输入变量log(Y) c log(X)
     2. 估计方法（Estimation settings）：
        • Method：选择LS - Least Squares(NLS and ARMA)
        • Sample： 默认设置
  3. 引导设置Equation Estimation \(\Rightarrow\) Options
     1. 系数协方差设置（Coefficient covariance）
        • 协方差方法（Coefficient method）：下拉选择HAC (Newey-West)
     2. 权重设置（Weights）：默认设置
     3. 最优化设置（Optimization）：默认设置
     4. 完成设置：点击OK
        
  4. 模型命名：建议为eq_adj_NW
     
  5. 查看分析报告（见图7.25）

图 7.24: 尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的操作

图 7.25: 尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的Eviews报告

7.6 作业题

存货案例：表7.3给出给出了41年的Y存货（百万美元），X2销售额（百万美元）等方面数据。

表 7.3: 存货与销售额(n=41)

Year	Y	X2
1950	84646	46486
1951	90560	50229
1952	98145	53501
1953	101599	52805
1954	102567	55906
1986	423082	326227
1987	408226	334616
1988	439821	359081
1989	479106	394615
1990	509902	411663

变量说明见表7.4：

表 7.4: 变量定义及说明

variable	label
Year	年份
Y	存货（百万美元）
X2	销售额（百万美元）

请考虑如下样本回归模型：

\[\begin{align} Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} \text{M0} \tag{7.40}\\ ln(Y_t) & =\beta_1+\beta_2ln(X_{2t})+u_{t} \text{M0} \tag{7.41} \end{align}\]

请回答如下问题:

1. 根据总体回归模型(7.40)，请对模型参数的理论预期（符号、大小、关系）进行说明。

2. 利用Eviews对模型(7.40)进行回归分析（将报告截图过来，并写出相应的简要报告形式——三行式或四行式）。参数估计结果符合你的理论预期么？

3. 回归模型(7.40)存在自相关问题的证据吗？请按照下列方法分别进行诊断，并分别得到分析结论（要求截图过来并进行简要说明）：
   \[\begin{equation} e_t=\hat{\rho}_1e_{t-1}+\hat{\rho}_2e_{t-2}+\cdots+v_t \tag{7.12} \end{equation}\]

   1. 残差序列观察法（描点图法）：绘制\(e_t\)序列的描点图（dot plot），得到你的初步结论。
      
   2. 残差序列观察法（描点图法）：根据前述观察，确定滞后阶数并分别绘制\(e_t\)序列与\(e_{t-1},e_{t-2},\cdots\)序列的散点图（scatter plot），得到你的初步结论
      
   3. 辅助回归法：构建残差\(e_t\)序列对\(e_{t-1},e_{t-2},\cdots\)序列的辅助回归方程(7.12)，得到你的初步结论
      
   4. 自相关和偏相关分析法：Eviews菜单操作对残差\(e_t\)序列进行自相关和偏相关分析（注意滞后阶数的选择）
   5. Durbin-Watson检验法：分析Eviews报告中的D-W统计量
      
   6. 拉格朗日检验法（LM-test）：Eviews菜单操作进行布罗施-戈弗雷(Breusch-Goldfrey)的拉格朗日检验(B-G LM test)

4. 若发现回归模型(7.40)存在自相关问题，你如何对该模型进行矫正？请按照下列方法分别进行诊断，并分别得到分析结论（要求截图过来并进行简要说明）：

   1. 广义最小二乘法(GLS)：一阶差分法变换
      
   2. 广义最小二乘法(GLS)：基于残差辅助方程(7.12)中估计出来的\(\hat{\rho}\)近似得到\(\rho\)
      
   3. 广义最小二乘法(GLS)：基于D-W统计量近似计算得到\(\rho\)
      
   4. 广义最小二乘法(GLS)：基迭代法近似计算得到\(\rho\)
      
   5. 一致标准误校正法（HAC）：尼威-威斯特(Newey-West)校正法
      
   6. 对数变换法：对数模型(7.41)进行Eviews回归分析
      

5. 如果模型(7.40)与上面各种方法修正的结果相差较大，你认为哪一个方法要相对较好，为什么？

---

12. 读者可以验证\(r=0.6,\rho=0.8\)时，二者的方差大小关系↩︎

13. 本质上属于广义最小二乘法（General least square，GLS）↩︎

14. 这种方法是对异方差怀特一致性标准误矫正法（White heteroscedasticity consistent standard error）的扩展↩︎

15. 具体可以参看Eviews在线帮助文档。网址http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content/timeser-Testing_for_Serial_Correlation.html↩︎

16. 理论查表值可以参考在线文档https://www3.nd.edu/~wevans1/econ30331/Durbin_Watson_tables.pdf↩︎